Penyelesaian Analitis Persoalan
Optimasi
(Modelling
and optimization)
Peranan
rekayasa sistem (system engineering) adalah untuk mendapatkan metodologi yang
sisitematik dalam melakukan studi (mempelajari) dan menganalisis berbagai aspek
sistem, baik struktural maupun non struktural menggunakan model matematik atau
fisik.
Rekayasa
sistem juga membantu proses pembuatan keputusan dengan cara seleksi kebijakan
alternatif terbaik menggunakan simulasi dan Teknik
optimasi.
Model
metematik : Satu set persamaan yang menggambarkan dan
mempresentasikan sistem nyata (real system).
Model
matematik umumnya digunakan untuk mendapatkan cara terbaik dalam mengatur
(controlling) atau mengelola (management) sebuah sistem fisik.
Persamaan-persamaan
dalam model matematik menunjukkan rumusan berbagai aspek persoalan,
mengidentifikasikan hubungan fungsional diantara komponen dan elemen dalam
sistem, menetapkan ukuran efektifitas dan kendala, serta menunjukkan data yang
diperlukan terkait dengan persoalan secara kuantitatif.
Untuk
itu model matematik yang dibuat harus semirip/sedekat mungkin dengan sistem
yang dimodelkan. Kriteria umum untuk hal
ini adalah keluaran model dan keluaran sistem nyata harus identik.
 |
| gmb 1.1 |
Representasi skema proses pemodelan dan optimasi
sistem
Solusi yang diperoleh dari penyelesaian model
matematik dapat diaplikasikan pada sistem fisik yang sesungguhnya. Dalam
menerapkan stategi penyelesaian persoalan kita dapat menempuh dengan pendekatan
optimasi,
simulasi
atau gabungan
keduanya. Hasil akhir dari prosedur di atas hádala keputusan optimal
terkait dengan pengendalian dan/atau pengelolaan sebuah sistem.
Ungkapan matematik secara umum dikatakan sebagai
prosedur optimasi, yaitu:
Prosedur penetapan
nilai sejumlah variable keputusan (decision variables) sesuai dengan fungís
tujuan (objective function) yang diinginkan (maximize or minimize) dan memenuhi
batasan-batasan (contraints) yang berlaku pada sistem yang ditinjau.
Prinsip
Dasar “Mathematical Programming”
Prosedur umum penyelesaian “mathematical programming”
diawali dengan mendefinisikan komponen persoalan berikut ini.
Decision
Variables : sebagai besaran yang akan dicari nilainya.
Parameters : ukuran-ukuran
bernilai tetap dan dapat diterapkan dalam perhitungan seperti harga, biaya,
benefit dan lain-ain.
Constraints : sebagai
faktor pembatas/kendala yang perlu dirumuskan secara matematis.
Objective
Function : adalah pernyataan kuantitatif dari kasus
optimasi, sebagai contoh: memaksimumkan
benefit, menentukan biaya operasi minimum.
Teknik Optimasi
Setiap
algoritme dari “Operations Research” diturunkan dengan prinsip yang sama, yaitu
untuk mencapai penyelesaian yang optimal atau dengan kata lain solusi terbaik
dapat diperoleh melalui penggunaan teknik optimasi. Beberapa teknik optimasi
yang termasuk dalam kelompok “Mathematical Programming” adalah:
1.
Calculus Method,
2. Linier Programming (LP),
3.
Non Linear Programming (NLP),
4.
Integer Programming (IP),
5.
Dynamic Programming (DP),
6.
Integer Linear Programming (ILP).
Optimasi
dengan menggunakan metode kalkulus merupakan cara klasik yang dapat
dipergunakan untuk menentukan nilai optimal dari suatu fungsi kontinyu dan
diferensiable (dapat diturunkan/dideferensialkan). Metode analitis ini
menggunakan prinsip diferensial kalkulus untuk menemukan lokasi titik-titik
optimum. Dengan algoritme tersebut, metode ini terbatas keberlakuannya hanya
untuk pemakaian praktis, oleh karena beberapa persoalan dapat melibatkan fungsi
tujuan yang tidak bersifat kontinyu atau tidak dapat dideferensialkan.
Model Matematik Standar
Penerapan
model matematik untuk optimasi pengelolaan sumberdaya air pada daerah aliran
sungai atau pada satuan wilayah sungai umumnya mempunyai bentuk perumusan yang
kompleks, sehingga penyelesaian secara numeris perlu digunakan alat bantu
hitung yang memadai. Penggunaan program komputer sekarang ini sudah merupakan
keharusan untuk memperoleh penyelesaian model matematik yang efisien dengan
akurasi yang memuaskan.
Masing-masing
algoritme dari “operations research” (program linier, program dinamik,
simulasi, teknik penelusuran dan lain-lain) telah banyak dibuat paket program
yang dapat dipergunakan untuk kasus optimasi di bidang sumberdaya air. Secara
umum bentuk standar model akan mengikuti perumusan matematik sebagai berikut
ini.
Fungsi
tujuan dapat berupa pernyataan upaya memaksimumkan atau meminimumkan perolehan
manfaat pengelolaan sistem sumberdaya.
OF : max Z
= f ( X1, X2, X3, ... , Xn ) atau
min Z = f ( X1, X2, X3, ... , Xn
)
dengan kendala : gi
( X1, X2, X3, ... , Xn ) ³ bi ; i = 1,2, ... , m
dimana :
Xi = decision variables,
f dan gi =
fungsi yang tergantung dari nilai Xi,
bi =
parameter model,
m = banyaknya rumusan kendala.
Contoh sederhana
rumusan model optimasi
KASUS
Sebuah pabrik yang telah dilengkapi dengan instalasi pengolah limbah akan
menyusun rencana produksi dengan memperhatikan batasan syarat kualitas air dari
buangan limbah. Produk pabrik tersebut dapat dijual dengan harga $ 10 per unit
dengan biaya produksi $ 3 per unit. Untuk satu unit barang yang diproduksi akan
menghasilkan 2 unit limbah. Kapasitas instalasi pengolah limbah adalah 10 unit
limbah dengan efisiensi penghilangan limbah 80%. Biaya pengolahan limbah per
unit limbah adalah $ 0,6. Pengusaha pabrik juga dikenai pajak sebesar $ 2 per
unit limbah yang sampai di badan sungai (tempat pembuangan limbah). Di lokasi
pembuangan limbah (sungai) berlaku ketentuan bahwa limbah yang sampai di badan
sungai tidak boleh lebih dari 4 unit.
Dengan latar belakang
persoalan tersebut bagian produksi pabrik harus menentukan kapasitas unit
produksi dan limbah yang harus diolah di instalasi pengolah limbah (sebagian
dibuang langsung ke sungai), agar mendapat keuntungan maksimal serta tidak
melanggar ketentuan batas kualitas air buangan limbah. Rumuskanlah model
optimasi dengan metode Program Linier serta berikan solusi optimalnya.
SOLUSI
1. Kapasitas produksi optimal 6 unit.
2.
Limbah yang diproses di IPAL 10 unit.
3.
Keuntungan bersih maksimum 28 $.
Skematisasi
persoalan alternatif 1
 |
| gmb 1.2 |
Rumusan model
optimasi
- Decision variables
X1
= kapasitas produksi pabrik (unit produksi)
X2
= beban limbah yang diproses ke IPAL (unit limbah)
- Objective function : Mencari net benefit yang maksimum
Max Z = Total Benefit – Total Cost
=
10 X1 – [ 3X1 + 0,6 X2 + 2 (0,2 X2
+ 2X1 – X2)]
= 3 X1 + X2
- Constraints
a. Kapasitas IPAL : X2
≤ 10
b. Limbah
maksimum ke sungai : 2X1 – X2 + 0,2 X2
≤ 4
2X1 – 0,8 X2 ≤ 4
c. Non-negative
constraints : 2X1 – X2 ≥ 0
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
Skematisasi
persoalan alternatif 2
 |
| gmb 1.3 |
Rumusan model
optimasi
- Decision variables
X1
= kapasitas produksi pabrik (unit produksi)
X2
= beban limbah yang langsung dibuang ke sungai (unit limbah)
- Objective function : Mencari net benefit yang maksimum
Max Z = Total Benefit – Total Cost
=
10 X1 – [ 3X1 + 0,6 (2X1 – X2)
+ 2 (X2 + 0,2 (2X1 - X2))]
= 5 X1 - X2
- Constraints
a. Kapasitas IPAL : 2X1
– X2 ≤ 10
b. Limbah
maksimum ke sungai : X2 + 0,2 (2X1 –X2) ≤ 4
0,4X1
+ 0,8X2 ≤ 4
c. Non-negative constraints :
2X1 – X2 ≥ 0
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
Tabulasi solusi optimal diselesaikan dengan Solver Excel
Penyelesaian rumusan model optimasi alternatif 1
Variabel
|
Nilai variabel
|
Constraint
|
Nilai ruas kanan
|
Objective function
|
X1
|
6
|
X2
<= 10
|
10
|
Z = 28
|
X2
|
10
|
2X1
- 0,8X2 <= 4
|
4
|
|
2X1
- X2 >= 0
|
2
|
Penyelesaian rumusan model optimasi alternatif 2
Variabel
|
Nilai variabel
|
Constraint
|
Nilai ruas kanan
|
Objective function
|
X1
|
6
|
2X1 - X2 <= 10
|
10
|
Z = 28
|
X2
|
2
|
0,4X1+ 0,8X2 <= 4
|
4
|
|
2X1 - X2 >= 0
|
10
|
