painem

painem

Monday, September 30, 2013

Penyelesaian Analitis Persoalan Optimasi







Penyelesaian Analitis Persoalan Optimasi
 (Modelling and optimization)

Peranan rekayasa sistem (system engineering) adalah untuk mendapatkan metodologi yang sisitematik dalam melakukan studi (mempelajari) dan menganalisis berbagai aspek sistem, baik struktural maupun non struktural menggunakan model matematik atau fisik.

Rekayasa sistem juga membantu proses pembuatan keputusan dengan cara seleksi kebijakan alternatif terbaik menggunakan simulasi dan Teknik optimasi.

Model metematik  : Satu set persamaan yang menggambarkan dan mempresentasikan sistem nyata (real system).

Model matematik umumnya digunakan untuk mendapatkan cara terbaik dalam mengatur (controlling) atau mengelola (management) sebuah sistem fisik.

Persamaan-persamaan dalam model matematik menunjukkan rumusan berbagai aspek persoalan, mengidentifikasikan hubungan fungsional diantara komponen dan elemen dalam sistem, menetapkan ukuran efektifitas dan kendala, serta menunjukkan data yang diperlukan terkait dengan persoalan secara kuantitatif.

Untuk itu model matematik yang dibuat harus semirip/sedekat mungkin dengan sistem yang dimodelkan. Kriteria umum untuk hal ini adalah keluaran model dan keluaran sistem nyata harus identik.




 
gmb 1.1


Representasi skema proses pemodelan dan optimasi sistem

Solusi yang diperoleh dari penyelesaian model matematik dapat diaplikasikan pada sistem fisik yang sesungguhnya. Dalam menerapkan stategi penyelesaian persoalan kita dapat menempuh dengan pendekatan optimasi, simulasi atau gabungan keduanya. Hasil akhir dari prosedur di atas hádala keputusan optimal terkait dengan pengendalian dan/atau pengelolaan sebuah sistem.

Ungkapan matematik secara umum dikatakan sebagai prosedur optimasi, yaitu:
Prosedur penetapan nilai sejumlah variable keputusan (decision variables) sesuai dengan fungís tujuan (objective function) yang diinginkan (maximize or minimize) dan memenuhi batasan-batasan (contraints) yang berlaku pada sistem yang ditinjau.

Prinsip Dasar “Mathematical Programming”
       
Prosedur umum penyelesaian “mathematical programming” diawali dengan mendefinisikan komponen persoalan berikut ini.

Decision Variables   :   sebagai besaran yang akan dicari nilainya.

Parameters              :   ukuran-ukuran bernilai tetap dan dapat diterapkan dalam perhitungan seperti harga, biaya, benefit dan lain-ain.

Constraints              :   sebagai faktor pembatas/kendala yang perlu dirumuskan secara matematis.

Objective Function  :   adalah pernyataan kuantitatif dari kasus optimasi,  sebagai contoh: memaksimumkan benefit, menentukan biaya operasi minimum.


Teknik Optimasi
       
Setiap algoritme dari “Operations Research” diturunkan dengan prinsip yang sama, yaitu untuk mencapai penyelesaian yang optimal atau dengan kata lain solusi terbaik dapat diperoleh melalui penggunaan teknik optimasi. Beberapa teknik optimasi yang termasuk dalam kelompok “Mathematical Programming” adalah:

        1. Calculus Method,
        2. Linier Programming (LP),
        3. Non Linear Programming (NLP),
        4. Integer Programming (IP),
        5. Dynamic Programming (DP),
        6. Integer Linear Programming (ILP).
       
Optimasi dengan menggunakan metode kalkulus merupakan cara klasik yang dapat dipergunakan untuk menentukan nilai optimal dari suatu fungsi kontinyu dan diferensiable (dapat diturunkan/dideferensialkan). Metode analitis ini menggunakan prinsip diferensial kalkulus untuk menemukan lokasi titik-titik optimum. Dengan algoritme tersebut, metode ini terbatas keberlakuannya hanya untuk pemakaian praktis, oleh karena beberapa persoalan dapat melibatkan fungsi tujuan yang tidak bersifat kontinyu atau tidak dapat dideferensialkan.


Model Matematik Standar
       
Penerapan model matematik untuk optimasi pengelolaan sumberdaya air pada daerah aliran sungai atau pada satuan wilayah sungai umumnya mempunyai bentuk perumusan yang kompleks, sehingga penyelesaian secara numeris perlu digunakan alat bantu hitung yang memadai. Penggunaan program komputer sekarang ini sudah merupakan keharusan untuk memperoleh penyelesaian model matematik yang efisien dengan akurasi yang memuaskan.

Masing-masing algoritme dari “operations research” (program linier, program dinamik, simulasi, teknik penelusuran dan lain-lain) telah banyak dibuat paket program yang dapat dipergunakan untuk kasus optimasi di bidang sumberdaya air. Secara umum bentuk standar model akan mengikuti perumusan matematik sebagai berikut ini.

Fungsi tujuan dapat berupa pernyataan upaya memaksimumkan atau meminimumkan perolehan manfaat pengelolaan sistem sumberdaya.

OF : max Z = f ( X1, X2, X3, ... , Xn )  atau  min  Z = f ( X1, X2, X3, ... , Xn )

dengan kendala :       gi ( X1, X2, X3, ... , Xn ) ³ bi ;  i = 1,2, ... , m
dimana :
        Xi             = decision variables,
        f dan gi     = fungsi yang tergantung dari nilai Xi,
        bi              = parameter model,
        m             = banyaknya rumusan kendala.
       
Contoh sederhana rumusan model optimasi

KASUS

Sebuah pabrik yang telah dilengkapi dengan instalasi pengolah limbah akan menyusun rencana produksi dengan memperhatikan batasan syarat kualitas air dari buangan limbah. Produk pabrik tersebut dapat dijual dengan harga $ 10 per unit dengan biaya produksi $ 3 per unit. Untuk satu unit barang yang diproduksi akan menghasilkan 2 unit limbah. Kapasitas instalasi pengolah limbah adalah 10 unit limbah dengan efisiensi penghilangan limbah 80%. Biaya pengolahan limbah per unit limbah adalah $ 0,6. Pengusaha pabrik juga dikenai pajak sebesar $ 2 per unit limbah yang sampai di badan sungai (tempat pembuangan limbah). Di lokasi pembuangan limbah (sungai) berlaku ketentuan bahwa limbah yang sampai di badan sungai tidak boleh lebih dari 4 unit.
Dengan latar belakang persoalan tersebut bagian produksi pabrik harus menentukan kapasitas unit produksi dan limbah yang harus diolah di instalasi pengolah limbah (sebagian dibuang langsung ke sungai), agar mendapat keuntungan maksimal serta tidak melanggar ketentuan batas kualitas air buangan limbah. Rumuskanlah model optimasi dengan metode Program Linier serta berikan solusi optimalnya.


SOLUSI

1. Kapasitas produksi optimal 6 unit.
2. Limbah yang diproses di IPAL 10 unit.
3. Keuntungan bersih maksimum 28 $.






Skematisasi persoalan alternatif 1




gmb 1.2
 



Rumusan model optimasi

  1. Decision variables

X1 = kapasitas produksi pabrik (unit produksi)
X2 = beban limbah yang diproses ke IPAL (unit limbah)

  1. Objective function :  Mencari net benefit yang maksimum

Max Z = Total Benefit – Total Cost

                   =  10 X1 – [ 3X1 + 0,6 X2 + 2 (0,2 X2 + 2X1 – X2)]

         =    3 X1 + X2

  1. Constraints

a. Kapasitas IPAL                         :   X2                        ≤ 10
b. Limbah maksimum ke sungai   :   2X1 – X2 + 0,2 X2 ≤ 4
                                                              2X1 – 0,8 X2         ≤ 4
c. Non-negative constraints          :   2X1 – X2                        ≥ 0
                                                              X1                         ≥ 0
                                                              X2                         ≥ 0


Skematisasi persoalan alternatif 2




gmb 1.3
 

Rumusan model optimasi

  1. Decision variables

X1 = kapasitas produksi pabrik (unit produksi)
X2 = beban limbah yang langsung dibuang ke sungai (unit limbah)

  1. Objective function :  Mencari net benefit yang maksimum

Max Z = Total Benefit – Total Cost

                   =  10 X1 – [ 3X1 + 0,6 (2X1 – X2) + 2 (X2 + 0,2 (2X1 - X2))]

         =    5 X1 - X2

  1. Constraints

a. Kapasitas IPAL                         :   2X1 – X2                 ≤ 10
b. Limbah maksimum ke sungai   :   X2 + 0,2 (2X1 –X2)  ≤ 4
                                                              0,4X1 + 0,8X2         ≤ 4
c. Non-negative constraints          :   2X1 – X2                          ≥ 0
                                                              X1                          ≥ 0
                                                              X2                          ≥ 0
Tabulasi solusi optimal diselesaikan dengan Solver Excel

Penyelesaian rumusan model optimasi alternatif 1

Variabel
Nilai variabel
Constraint
Nilai ruas kanan
Objective function
X1
6
X2 <= 10
10
Z = 28
X2
10
2X1 - 0,8X2 <= 4
4



2X1 - X2 >= 0
2


Penyelesaian rumusan model optimasi alternatif 2

Variabel
Nilai variabel
Constraint
Nilai ruas kanan
Objective function
X1
6
2X1 - X2 <= 10
10
Z = 28
X2
2
0,4X1+ 0,8X2 <= 4
4



2X1 - X2 >= 0
10




Monday, February 18, 2013

february 18, 2013
hai! gue dhey, umur gue sekarang udah 19 tahun. huaaa.... gak terasa banget gue udah segede ini.gue seorang mahasiswi universitas negeri di jatim. gue sekarang semester dua jurusan manajemen informatika. ngomong tentang jurusan gue, gue juga ga tau kenapa tiba-tiba gue masuk nih jurusan. yang gue tau waktu itu, nih jurusan adalah third choice. jadilah gue masuk nih jurusan. tau gak apa my first choice?. teng. . .teng. . teng. . .  kasi tau gak yaa?. pilihan pertama gue adalah kedokteran. pilihan kedua gue juga gak jauh-jauh dari kesehatan. tapi nyatanya tuh mimpi kayaknya pergi jauh dari gue. jadilah manajemen informatika jurusan gue sekarang :D. well, kuliah gak seburuk yang gue bayangin ko. tuh kata  emes gue.sekarang gue udah semester dua, gue udah mantepin diri di jurusan ini. yaaahhh walopun selalu ketemu mathematics. daru gue ES DE  ampe gue MAHAsiswa, matematika udah jadi musuh gue. gak tau kenapa gue benci ama nih pelajaran. gue lebih suka pelajaran bahasa ato yang menghafal daripada menghitung. dari  kecintaan gue kebahasa, gue sempet belajar bahasa korea waktu SMA secara otodidak. gue juga suka belajar bahasa inggris. gue juga sempet ikut sertifikasi cambrigde university untuk bahasa arab.well, waktu gue SMA, gue berharap gue gak akan pernah ketemu ma ma te ma ti ka.tapi Tuhan berkehendak lain. Matematikalah jodoh gue. waktu mo masuk kuliah dulu, gue sempet pengin ke bhs inggris ato psikolog. tapi ebes ma emes nuntut gue ke ekonomi syari'ah. daripada ke ekonomi, gue lebih milih ke teknik. karena restu ortu gue ada di ekonomi syari'ah dan teknik. jadi waktu itu, gue mikir gimana dapet ridhonya ortu. yaaahhh, finally jadilah gue sekarang. walopun sempet nyesel juga karena sempet gak keras kepala waktu itu.gue harap ada hikmah dibalik ini semua. sapa tau gue bisa dapet jodoh yang cakep, pinter, baek, kaya, hahahaha.
hubungan jurusan ma jodoh apa yaa?